Una suposición matemática probada después de 80 años

Los denominadores se muestran en este gráfico. Están relacionados cuando tienen al menos un factor primo común, es decir, un número primo que puede dividirlos en un número entero. Por ejemplo, 25 y 10 se pueden dividir por 5. Los denominadores no relacionados, como 11 y 20, no comparten ningún factor primo. Es el análisis del patrón de tal gráfico lo que ha permitido a los matemáticos demostrar que incluso cuando los denominadores elegidos comparten muchos factores primos, la conjetura de Dauphin Schaeffer sigue siendo válida. Adaptado de Quanta Magazine

No probamos todos los días una conjetura matemática, un enunciado que se verifica con ejemplos, pero que no se prueba más allá de una duda razonable. Sin embargo, esto es lo que Dimitris Cocoulopoulos, matemático de la Universidad de Montreal, logró al validar la conjetura de Dauphin Schaeffer formulada hace 80 años … ¡una hazaña alabada por matemáticos de todo el mundo!

Esta conjetura gira en torno a la pregunta: ¿Es posible aproximar, utilizando una fracción simple, un número como Pi con cierta precisión? Pi es parte de la familia de los números irracionales. Se obtiene dividiendo la circunferencia de un círculo por su diámetro. Y es bastante esquivo, porque contiene un número infinito de decimales: 3.141.592.653.589 … “A diario, casi siempre usamos números racionales, como explica Demetris Cocoulopoulos. Pero la gran mayoría de los números que existen no lo son. Booleano El matemático aprendió a hacer coincidir estos números, que no se pueden expresar como una fracción de dos números enteros.

Por otro lado, dice, “podemos aproximarlo en una fracción”. Por ejemplo, 22/7 da 3,142857 14 …, que corresponde a Pi en el segundo decimal (de ahí los números en negrita). De hecho, la diferencia entre esta aproximación y el valor real de Pi es 0.001 … lo cual es bastante aceptable como margen de error para una fracción tan simple.

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Si intentas con una fracción con un denominador más grande (el divisor), es posible que obtengas un margen de error menor. Por lo tanto, 355/113 da 3,141 592 92 …, que acerca a Pi a su sexto decimal. Margen de error, aquí 0.000 000 26… ¡muy respetable! Los ingenieros suelen utilizar este tipo de fracción en lugar de Pi en sus cálculos.

En la secuencia de fracciones, la precisión de la aproximación de Pi aumenta con el aumento del denominador:

Los matemáticos se han molestado durante mucho tiempo en aproximar números irracionales (como Pi) con fracciones enteras. En 1941, los matemáticos estadounidenses Richard Dauphin y Albert Schaeffer, en la conjetura que mantuvo sus nombres, asumieron que cuando uno elige una serie de números como denominador (por ejemplo, números primos, números pares o todos los números terminados en 7. .. .) y elegimos un margen de error No se cruza, ocurren dos situaciones: ¡es posible aproximar casi todos los números irracionales o después de eso no podemos aproximar ninguno de ellos! “No hay una posición de mediación”, dijo Demetris Kokolopoulos. No hay ningún caso en el que podamos aproximarnos al 30 o 50%. Todo o nada. “

Aunque un puñado de teóricos validaron pequeñas porciones de conjeturas, se resistieron a todos los intentos. Demetris Cocoulopoulos y su colega James Maynard, de la Universidad de Oxford en Inglaterra, utilizaron un enfoque original para presentar una demostración de 55 páginas, publicada en julio de 2020 en Anales de Matemáticas.

“A todos nos sorprendió un poco atacar el problema con la teoría de grafos. Muy brevemente, se trata de poner puntos que representan denominadores de una serie en un gráfico y conectarlos cuando tienen muchos factores comunes. Cuando hay demasiados conexiones, la aproximación es imposible y, en última instancia, no permitirán el redondeo de casi ningún número irracional.

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Jean-Marie de Konink, famoso matemático de la Universidad Laval que no participó del estudio, expresa con una sonrisa en su voz su admiración por su intuición: “Estos dos matemáticos son genios con gran potencial. la demostración apareció en Anales de Matemáticas. Es el estándar en nuestro campo y todos aspiran a publicar allí durante sus carreras. ¡Tienen apenas 35 años! ¡De qué estás celoso! “

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